Suite de Piatetski-Shapiro

La suite de Piatetski-Shapiro d'ordre $c$, où $c>0$ est un nombre réel, est la suite d'entiers

$(\lfloor n^{c}\rfloor )_{n\geq 1}$.

Un nombre de la forme $\lfloor n^{c}\rfloor$ est appelé un nombre de Piatetski-Shapiro par Joël Rivat dans sa thèse.

Définitions et estimations

Ilya Piatetski-Shapiro a étudié à plusieurs reprises, et pour la première fois en 1953, le nombre de nombres premiers parmi les éléments d'une suite de Piatetski-Shapiro. On note $\pi _{c}(x)$ le nombre d'entiers $n$ inférieurs à $x$ tels que $\lfloor n^{c}\rfloor$ est premier, soit formellement

$\pi _{c}(x)={\text{Card}}\{n<x\mid \lfloor n^{c}\rfloor {\text{ est premier}}\}$,

il est conjecturé que

$\pi _{c}(x)\sim {\frac {x}{c\ln x}}\qquad x\to \infty \$.

Piatetski-Shapiro a montré que cette équivalence était vraie pour $0<c<12/11$, puis la majoration a été progressivement améliorée :

• 1972 : Kolesnik : $0<c<10/9=1,111...$
• Graham et Leitmann, indépendamment (non publié): $0<c<69/62=1,112903...$
• 1983 : Heath-Brown : $0<c<755/662=1,140483...$
• 1985 : Kolesnik  : $0<c<39/34=1,14705....$
• 1990 : Liu et Rivat (indépendamment)  : $0<c<15/13=1,15....$
• 1992 : Rivat : $0<c<6121/5301=1,1544...$
• 2001 : Rivat et Sargos : $0<c<2817/2426=1,16117...$.
• 2001 : Rivat et Wu : $0<c<243/205=1,18536...$.

Complexité arithmétique des termes suivant une suite de Piatetski-Shapiro

La complexité d'un mot infini $x$ sur un alphabet fini est la fonction qui donne le nombre de facteur de chaque longueur dans $x$. La complexité arithmétique d'un mot infini $x$ selon la suite de Piatetski-Shapiro $(\lfloor n^{c}\rfloor )$ est la complexité du mot obtenu en ne conservant que les termes d'indice $\lfloor n^{c}\rfloor$.

Parmi les études dans ce cadre, il y a l'article de Deshouillers, Drmota, Müllner, Shubin et Spiegelhofer qui considère la complexité arithmétique d'un mot automatique synchronisant. Un cas particulier est la suite $(\lfloor n^{c}\rfloor {\bmod {m}})$ dont ils montrent que la complexité arithmétique est polynomiale.

Bibliographie

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• [2023] : Jakub Konieczny et Clemens Müllner, « Arithmetical subword complexity of automatic sequences », Arxiv,‎ 6 septembre 2023 (DOI 10.48550/arXiv.2309.03180, lire en ligne)

• [2023] : Victor Zhenyu Guo, Jinjiang Li et Min Zhang, « Piatetski-Shapiro primes in arithmetic progressions », The Ramanujan Journal, vol. 60, n^o 3,‎ 1^er mars 2023, p. 677–692 (DOI 10.1007/s11139-022-00636-7, lire en ligne, consulté le 30 janvier 2024)
• [1983] : David Rodney Heath-Brown, « The Pjateckiĭ-S̆apiro prime number theorem », Journal of Number Theory, vol. 16, n^o 2,‎ 1^er avril 1983, p. 242–266 (DOI 10.1016/0022-314X(83)90044-6, lire en ligne)
• [2001] : Joël Rivat et Patrick Sargos, « Nombres premiers de la forme $[n^{c}]$ », Canadian Journal of Mathematics, vol. 53, n^o 2,‎ avril 2001, p. 414–433 (DOI 10.4153/CJM-2001-017-0, lire en ligne)
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• Christian Mauduit et Joël Rivat, « Répartition des fonctions q-multiplicatives dans la suite $([n^{c}])_{n\in \mathbb {N} },c>1$ », Acta Arithmetica, vol. 71, n^o 2,‎ 1995, p. 171–179 (ISSN 0065-1036, lire en ligne)

• Joel Rivat, Autour d'un théorème de Piatetski-Shapiro (Nombres premiers dans la suite $[n^{c}]$) (thèse de doctorat), 13 février 1992 (lire en ligne)

• Roger C. Baker, William D. Banks, Jörg Brüdern et Igor E. Shparlinski, « Piatetski-Shapiro sequences », Acta Arithmetica, vol. 157, n^o 1,‎ 2013, p. 37–68 (DOI 10.4064/aa157-1-3, arXiv 1203.5884v1, lire en ligne, consulté le 27 janvier 2024)